高中导数题型总结
高中导数题型总结
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法
5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)
与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令得到两个根;
第二步：画两图或列表;
第三步：由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)
第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
(1)若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围;
(2)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.
解:由函数得
(1)在区间上为“凸函数”，
则在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
解法二：分离变量法：
∵当时,恒成立,
当时,恒成立
等价于的最大值()恒成立，
而()是增函数，则
(2)∵当时在区间上都为“凸函数”
则等价于当时恒成立
变更主元法
再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)
请同学们参看2010第三次周考：
例2：设函数
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.
(二次函数区间最值的例子)
解：(Ⅰ)
令得的单调递增区间为(a,3a)
令得的单调递减区间为(-，a)和(3a，+)
∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.
(Ⅱ)由||≤a，得：对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法)
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数.(9分)
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于
又∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型
例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为，
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当时，求的值域;
(Ⅲ)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
解：(Ⅰ)∴，解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减
又
∴的值域是
(Ⅲ)令
思路1：要使恒成立，只需，即分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型
解法2：利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知，函数.
(Ⅰ)如果函数是偶函数，求的极大值和极小值;
(Ⅱ)如果函数是上的单调函数，求的取值范围.
解：.
(Ⅰ)∵是偶函数，∴.此时，，
令，解得：.
列表如下：
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
可知：的极大值为，的极小值为.
(Ⅱ)∵函数是上的单调函数，
∴，在给定区间R上恒成立判别式法
则解得：.
综上，的取值范围是.
例5、已知函数
(I)求的单调区间;
(II)若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
(I)
1、
当且仅当时取“=”号，单调递增。
2、
单调增区间：
单调增区间：
(II)当则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增符合题意
2、，
综上，a的`取值范围是[0，1]。
三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步：解不等式(组)即可;
例6、已知函数，，且在区间上为增函数.
求实数的取值范围;
若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.
解：(1)由题意∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立(分离变量法)
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
(2)设，
令得或由(1)知，
①当时，，在R上递增，显然不合题意…
②当时，，随的变化情况如下表：
—
↗
极大值
↘
极小值
↗
由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得
综上，所求的取值范围为
根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数
(1)若是的极值点且的图像过原点，求的极值;
(2)若，在(1)的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在，求出实数的取值范围;否则说明理由。高1考1资1源2网
解：(1)∵的图像过原点，则，
又∵是的极值点，则
(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，
等价于有含的三个根，即：
整理得：
即：恒有含的三个不等实根
(计算难点来了：)有含的根，
则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，
十字相乘法分解：
恒有含的三个不等实根
等价于有两个不等于-1的不等实根。
题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数在点处取得极小值-4，使其导数的的取值范围为，求：(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.
(1)由题意得：
∴在上;在上;在上
因此在处取得极小值
∴①，②，③
由①②③联立得：，∴
(2)设切点Q，
过
令，
求得：，方程有三个根。
需：
故：;因此所求实数的范围为：
题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：根分布或判别式法
例8、
解：函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时，f(x)=x3-x2+10x，
=x2-7x+10，令，解得或.
令，解得
可知函数f(x)的单调递增区间为和(5，+∞)，单调递减区间为.
(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,
要使函数y=f(x)在(1，+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)
根分布问题：
则，解得m>3
例9、已知函数，(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.
解：(1)
当时，令解得，令解得，
所以的递增区间为，递减区间为.
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.
(2)有且仅有3个极值点
=0有3个根，则或，
方程有两个非零实根，所以
或
而当或时可证函数有且仅有3个极值点
其它例题：
1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是-11.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若时，恒成立，求实数的取值范围.
解：(Ⅰ)
令=0,得
因为，所以可得下表：
0
+
0
-
↗
极大
↘
因此必为最大值,∴因此，，
即，∴，∴
(Ⅱ)∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，
为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].
2、(根分布与线性规划例子)
(1)已知函数
(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;
(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.
解：(Ⅰ).由,函数在时有极值,
∴
∵∴
又∵在处的切线与直线平行,
∴故
∴…………………….7分
(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,
∴即令,则
∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得,,,,,
同时DE为△ABC的中位线,
∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,
由得点F的横坐标为:
由得点G的横坐标为:
∴即
解得:或(舍去)故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分
(Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,
∴即令,则
∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得,,,,,
同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,
由得直线L与AC交点为:
∵,,
∴所求直线方程为:或
3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式;
(Ⅲ)若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。
解：由题知：
(Ⅰ)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0
得
(Ⅱ)依题意=–3且f(2)=5
解得a=1,b=–6
所以f(x)=x3–6x2+9x+3
(Ⅲ)依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)
=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①
若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)<8a
由①②得–25a+3<8a<7a+3
所以当
4、(根的个数问题)已知函数
(1)若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间;
(2)若，讨论曲线与的交点个数.
解：(1)
………………………………………………………………………2分
令得
令得
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分
(2)由题得
即
令……………………6分
令得或……………………………………………7分
当即时
-
此时，，，有一个交点;…………………………9分
当即时，
+
—
,
∴当即时,有一个交点;
当即时，有两个交点;
当时，，有一个交点.………………………13分
综上可知，当或时，有一个交点;
当时，有两个交点.…………………………………14分
5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数.
(Ⅰ)若函数在处有极值，求的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围.
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